黄琳/编著 稳定性与鲁棒性 的理论基础 巴辑誉出法

前言 稳定性与鲁棒性是现代系统与控制科学的两个重要基本概念.大体上说前者是刻画 系统中过程相对初始条件变化的保持能力,而后者是过程相对环境或系统本身变化的保 持能力.随着科学技术的发展,在系统和控制的研究中,这两个概念实际上已经紧密相 连.当今在系统和控制领域关于鲁棒稳定性或稳定鲁棒性的讨论比比皆是就说明这两个 概念的研究是应该也有条件放在一起进行的.从19世纪绎典稳定性的产生到20世纪末 鲁棒稳定性的形成,其间大约经历了100年的时间.回顾这…历史进程,对于理解今天 发展的状况和预测未来的可能发展是很有意义的 1.稳定观念的萌芽到经典稳定性理论 早在2000年前古代中国的汉朝,淮南玒刘安所著的《淮南子·说山训》中就曾指 出“下轻上重,则覆必易”到了宋朝,《梦溪笔谈》的作者,科学家沈括把这种观察到的 事实已付诸于应用,他在《忘怀录》中指出“安乍乍轮不欲高,高则摇”.这是古代中国 对稳定与不稳定现象观察得到的结论,它已经隐含了后来的J.L. Lagrange关于不稳定 平衡的一些思想.至于类似稳定这个词的出现,至少可以追溯到晋书上所述“行人安稳 布帆无恙”.这大概在1500年前了.在西方“ stable”一词源出于拉丁文“ stabili 是表示坚持或保持的意思,这些千年以前的说法与观念表现了当时人们对稳定这一概念 的最初理解 稳定性由具有这种最初的理解到形成一门科学理论,其间经历了1000多年,促成 稳定性理论产生的决定性因素来自两个方面,即工业革命及随后科学技术发展的推动和 人类在19世纪对自然科学首先是数学和力学的贡献 从18世纪下半叶到19世纪末的这100多年的时间里,发生了一些具有深远影响 的事件,从中人们可以看到稳定性理论产生的必然性 ●J.Watt1765年创造性地改进了T. Newcomen发明的蒸汽机,由此引发了随后 蓬勃发展的工业革命 ·J.L. Lagrange1780年出版的《分析力学》,科学地讨论了平衡位置的稳定性 C. Hermite1856年建立了关于多项式对根交错的理论 J.C. Maxwell1868年发表的“论调节器”一文,讨论了蒸汽机自动调速器与钟 表擒纵机构的运动稳定性 ·A.L. Cauchy在19世纪给出了关于极限描述的e-6,6-N语言 ●H. Poincare在微分方程定义的积分曲线和天体力学方面作出的贡献 G. Peano,I. Bendixson和G. Darboux关于微分方程解对初值及参教连续依赖 性的研究 上述这些重要事件及相关科学的进展促成了19世纪未稳定性理论的两个主要学派 的形成 基于线性时不变微分方程解的收敛性与对应的实系数多项式根是否具有负实部的关

系,E.J. Routh在1875年利用多项式根的 Sturn组方法与有理函数的 Cauchy指 数之间的联系,建立了判断实多项式石半平亩根个数的算表,从而给出了判断稳定性的 Routh判据.随后A. Hurwitz在1895年又独立地采用多项式系数排成的矩阵的主子 式的符号来判断右半平面根的个数和稳定性,他们的工作为稳定性理论研究的代数方法 奠定了基础.这种代数方法与复变函数论中关于有理函数在特定区域内零极点数估计的 理论结合为近代稳定性判定的频域方法提供了基础,无论是频域方法中的 Nyquist判据 还是受C. Hermite早期工作的启发而由F.R. Gantmachcr等人建立的正多项式对方 法,从理论上都是与代数方法一脉相承的.为纪念 Routh的,T作, Inter.J. of Control 在1975年专门出版了纪念专辑 大致与代数方法产生的同时,A.M. Lyapunov在1892年发表了著名的博土论文 《运动稳定性一般问题》.他按照 Cauchy关于极限描述的e-6语言,将常微分方程解 对初值的连续依赖性由有限时间区间拓宽到无穷时间区间,给出了有关稳定、渐近稳定 的科学概念;进而又参照力学系统中总能量及其随时间变化的特性在决定平衡位置稳定 与否上的作用,引入了后来称为 Lyapunov函数的判定函数,利用该函数及其时间导数 的性质,建立了判断一般系统稳定性的一系列定理,从而避开了求解一般微分方程组解 的困难, Lyapunov讨论的系统是-般非线性时变系统,其结论具有一般性,可以运用 于各种类型的系统,因而意义深远,为纪念这一划时代工作发表一百周年, Inter..Jof Control同样专门出版了纪念专辑.在这-工作发表的最初50年,其主要T作集中在理 论方面 当时理论上的拓展首先表现在对时变系统稳定性的认识上.1933年K.P. Persidski 首先指出稳定性与初始时刻的关系并提出了致稳定的概念,进面E.A. Barbasin与N N. Krasovsky提出了一致渐近稳定的概念并给出了判据.此时人们才认识到 Lyapunov 关于时变渐近稳定的定理实际上已经判定了一致渐近稳定.于是一些人饶有兴趣地企图 在 Lyapunov关于渐近稳定的定理中除去无穷小上界的条件,以期达到判别渐近稳定而 不要求一致渐近稳定的结论.直到 J Massera在1949年给出了一个反例,表明在对时 变系统不做附加限制时即使要证明系统渐近稳定, Lyapunov原来的条件也未必可以减 弱,这些结果使人们对时变系统稳定性有了更深刻的认识 同用多项式根判定线性时不变系统零解渐近稳定不同,用 Lyapunov方法判断系统 零解的渐近稳定性实际上只提供了一种充分条件,但对于系数有界的线性时变系统说来 一致渐近稳定、指数渐近稳定和存在满足相关稳定性判定要求的时变二次型 Lyapunov 函数,竟是等价的.而对于非线性系统零解的一致渐近稳定, Massera同样也证明了用 来判定的 Lyapunov函数的存在性,这样便对用 Lyapunov方法判断稳定性在一定意义 下给出了必要性的结论,使人们对这一方法进一步提高了认识 理论上的另一种发展吏具方法论性质,即针对一类问题,将 Lyapunov函数由一个 扩展为几个,在研究问题时互相搭配来判断零解的稳定性.由于系统阶次的增高,针对 系统结构上的特征将 Lyapunov函数由标量函数扩展为向量函数,然后用来判断大系统 的稳定性则是在20世纪50年代后才发展起来的.这种将一个大系统分解成一些子系统 再根据子系统构造合适的 Lyapunov函数,然后集成起来形成向量 Lyapunov函数研究 整个大系统的稳定性以及关联稳定性的方法,已在包括电力系统、经济系统中得到了应

用 虽然代数方法与 Lyapunov方法从理论方法上有明显的区别,但它们讨论的系统及 理论研究的客观背景则是在同一的前提下进行的 (1)描述系统的模式是确定的,不考虑人为改变的因素,例如控制 (2)系统中不确定性表现在系统运动的初始条件摄动上 (3)系统是单一给定的,不考虑由于不确定性存在而导致的系统族 上述三点刻画了经典稳定性理论的主要特祉.这样的特征反映了19世纪物理学研 究特点的影响.正如马克思在《资本论》第一卷第一版序言中指出的“物理学家是在自 然过程表现得最确实最少受干扰的地方考察自然过程的或者如有可能是在保证过程以其 纯粹形态进行的条件下从事实验的”.在这种纯粹化与确定论思潮影响下的经典稳定性理 论,在20世纪后半叶由于大量工程应用的需求而遇到了挑战.这一挑战的推动,使稳定 性理论的研究获得了从未有过的发展动力,得到了巨大的发展,研究队伍也一下子由基 本上是少数数学家与力学家的圈子扩大到了包括工程科学家在内的众多领域 2.控制对稳定性理论发展的影响 20世纪30年代兴起的自动控制技术与理论,深刻地改变了稳定性理论研究的面 貌,无论从研究队伍的扩展还是控制系统的出现,从研究问题的提法与解决问题的办法 两方面都对原稳定性理论是一种突破,这种变化使稳定性理论的研究与发展都远非稳定 性理论形成后的前50年所可比拟 我们考虑一个简单的控制系统模式 x=∫(x,t,t,y=9(x,x) 其中,τ是系统的状态;α与y分别是系统的输入与输岀.控制系统中由于α不是给 定的,因而其稳定具有新的特色 控制系统研究的第一个特点在于人们对它建模时,一般认为输入与输出的信息是最 能反映系统动态特性的,至于系统的具体方程式并不一定非弄清楚.适应这种特点,控制 系统的稳定性常常用有界输入下是否只对应有界输出来刻画.建立在这种刻画之下的系 统常被看成是一些信号空间之间的算子.在线性系统的情况下,若信号理解为时域的, 则该算于用具有一定 Green函数的积分算子来表祉;当信号看为是频域的,则算子常用 传递函数方式给出,而在信号空间中常常定义一些范数来进行讨论,这种输入输出稳定 性与系统无控制时的零解稳定性的关系,在系统可控又可观测下,对于线性系统来说, 结论是清楚的,但对于非线性系统,其硏究还是近20年的事 控制系统研究的第二个特点在于存在控制.当控制是系统的状态(或输出)决定 时,则称为状态反馈(或输出反馈),系统的反馈一经确定,例如u=K(x、y),对应系 统(1)就成为 i=f(a, K(c, y),t), y=g, K(a, y)) 此时已成为无外力控制的系统,因此对于控制系统来说,稳定性的基本提法就成为:① 系统在何种条件下可以通过反馈的选取使对应系统的零解渐近稳定;②系统中反馈部分 如何具体求得,上述寻求反馈使系统稳定常称为镇定,因而上述两提法就变为①何种条 件表明系统是可镇定的;②具体如何镇定

将镇定思想与输入输出稳定的观念相结合,就发展为现今H鲁棒控制的思想.考 虑如图1所小的系统,装置G的输入区分为扰动v和控制,其输出亦区分为输出z 与测量y,此时镇定要求转化为设计K使图示系统的每一通道均稳定(即内稳定),同 时要求α对系统输出之的影响能低于一事先给定的界,这就是现今H控制研究的出 发点.研究控制系统稳定性,其模式常常以问路形式表达,最早的回路稳定的思想是由 H. Nyquist在1928年提出的.他用装置G的频率特性曲线即可断定使闭路稳定的增 益应如何选取,这种回路当K是一个由输入输出的增益界刻画的非线性函数族φ(t1) 时,则导致了从40年代起由A.L.Lur'e与V.N. Postnikov开创的绝对稳定性的研 究.意味深长的是研究绝对稳定性的方法首先不是回路分析的方法,而是将回路系统用 状态空间形式表达并用 Lyapunov方法加以解决的方法.这种现象和方法几乎延续了整 整20年,直至Ⅴ.M. Popov提出用频率法同样可以解决绝对稳定性问题,人们才深刻 地意识到绝对稳定性问题本质上应归于同路稳定性问题随后,V.A. Yakubovich给 出了著名的 Kalman- Yakubovich- Popov引埋,在证明Lur'e解与 Popov解关于绝对稳 定性等价的同时,也深刻地揭示」绝对稳定性研究中时域方法和频域方法的本质联系 这种研究过程迂回的一个直接效果是人们认识到 Lyapunov方法与回路分析方法之间并 不存在天堑,而是有着一种本质的联系,这种本质联系在随后关于严格正实与对应的矩 阵方程组求解、H∞控制与对应的 Riccati方程求解上均有明显的表现,这种频域方法 与时域方法的沟通也促进了控制系统稳定性研究的发展,人们对回路稳定性的研究,在 G只是一个传递函数时,其结果十分允分.而当G是一个传递函数矩阵时,无论是镇定 问题还是绝对稳定性问题,其结果均不够理想.A. Megretski和A. Ranter发展了绝 对稳定性研究中利用输入输出信号的积分二次约束(QC),它将目前已知的许多关于系 统动态不确定性的描述纳入统一的框架之下.而在此基础上发展起来的稳定性分析的频 域方法在继承了绝对稳定性和回路变换频城方法优点的同时,还可以处理多输入多输出 系统的稳定性分析,并可以转化为线性矩阵不等式(LMI)求解.目前1QC方法虽然在 稳定分析上获得成功,但如何利用该方法解决系统镇定间题,还远没自解决, y K 图1反馈控制系统方框图 3.研究鲁棒性的必然与发展 在控制科学研究的对象—控制系统中,由于种种原因而存在不确定性或摄动 用一个数学模式,例如用一个微分方程组来描述它,总与实际运转的系统存在差别,这 种差别表明用单一的数学模型来刻画系统是不完善的.由于处理问题的能力有限,人们 一开始总假设这种不确定性是很微小的.无论是代数方法还是 Lyapunov方法,所判断 的渐近稳定性通常具有“开集”性质,即当无摄动系统是渐近稳定时总能保证存在一个 邻域,当不确定性发生在该邻域内时对应的渐近稳定将得到保持.这样只在微摄动假设